| # | Число | Тема |
| 1. | Суб., 4 авг. | 1. Введение. Аксиоматический подход к геометрии. "Начала" Евклида. Определения Евклида. Можно ли определить элементарные объекты? Постулаты Евклида. 2. Пятый постулат. Постулат о параллельности. Разные формы пятого постулата. Аксиомы Евклида. Более полная система аксиом Гильберта (историческая справка). Связь между пятым постулатом и суммой углов треугольника. 3. Абсолютная геометрия. Теорема о том, что сумма углов треугольника меньше двух прямых углов. |
| 1с. | Вос., 5 авг. | Углы вписанные в окружность. |
| 2. | Пон., 6 авг. | Сумма углов треугольника. Две альтернативы для суммы углов треугольника. S=2d (постулат Евклида) и S<2d (постулат Лобачевского). 4. Геометрия Лобачевского. Возможность провести много прямых проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую в геометрии Лобачевского. Расходящиеся и параллельные прямые. Угол и направление параллельности. Дефекты треугольников и многоугольников. Теорема о сложении дефектов. Подобные фигуры. Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского. 5. Модель Пуанкаре на круге I. "Плоскость", "точки" и "прямые". Верен ли пятый постулат в модели Пуанкаре? 6. Инверсия. Теорема о секущей. Определение инверсии. Простейшие свойства инверсии. |
| 2с. | Вт., 7 авг. | Инверсия. Определение и простейшие свойства. |
| 3. | Чет., 9 авг. | Свойства инверсии. Отображение прямых и окружностей в прямые и окружности. Окружности инвариантные относительно инверсии. 7. Модель Пуанкаре на круге II. Зачем нужны "модели"? Первый постулат Евклида. Абсолют. |
| 3с. | Пят., 10 авг. | Свойства инверсии. Использование инверсии для решения некоторых геометрических задач. |
| 4. | Суб., 11 авг. | Расходящиеся и параллельные прямые. Треугольники. Подобные треугольники. 8. Конгруэнтность, движения и отражения. Зеркальные отражения относительно прямых и движения плоскости. Конгруэнтность фигур в геометрии Евклида. Отражения относительно прямых Пуанкаре (инверсии) и движения гиперболической плоскости. Конгруэнтность фигур в модели Пуанкаре. 8. Расстояния в геометрии Лобачевского. Измерения отрезков. Движения гиперболической плоскости. Гиперболическая длина. |
| 4с. | Вос., 12 авг. | Движения Евклидовой плоскости. Поворот, параллельный перенос и зеркальные отражения. |
| 5. | Пон., 13 авг. | Логарифмическая функция. Свойства логарифма. Определение гиперболической длины. Угол параллельности. Функция Лобачевского. Формула Лобачевского. |
| 5с. | Вт., 14 авг. | Логарифм. Тригонометрия. |
| 6. | Ср., 15 авг. | Экспонента и гиперболические функции. Метрика на плоскости Лобачевского в гиперболических полярных координатах на круге Пуанкаре. Длина окружности на плоскости Лобачевского и в геометрии Римана (на сфере). |
| 6с. | Чет., 16 авг. | Окружности на круге Пуанкаре. Метрика и длина окружности. |
| 7. | Пят., 17 авг. | Площадь сферического треугольника. Площадь треугольнила на плоскости Лобачевского. Кривизна. Трактриса и псевдосфера. |
| 7с. | Вос., 19 авг. | Площади. Геометрия на сфере. Геометрия на кривой поверхности. |
| 8. | Пон., 20 авг. | 9. Дальнейшее развитие геометрии. 1) Аксиоматический подход к геометрии. Система аксиом Гильберта. Непротиворечивость, минимальность и полнота аксиоматической системы. 2) Теоретико-групповой подход к геометрии. Эрлангенская програма Ф. Клейна. Абстрактная группа. Группы преобразований. Геометрия как инварианты группы. Примеры: а) непрерывные преобразования и топология; б) проективные преобразования и проективная геометрия, проективные инварианты, бесконечно-удалённые точки и прямые, аксиомы проективной геометрии; |
| 9. | Вт., 21 авг. | Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана из проективной геометрии. в) Пространство Минковского. Метрика на пространстве Минковского. Псевдоевклидовы пространства. 3) Дифференциальная геометрия. Метрика и кривизна. Риманова геометрия на многообразиях. 10. Геометрия реального мира. История и первые эксперименты. Геометрия и гравитация. Уравнения Эйнштейна. Энергия и кривизна. Космология и черные дыры. Теория струн. 11. Геометрия Лобачевского и Квантовый Эффект Холла. |
| Ср., 22 авг. | Прощальные контрольные. |